Sistemas dinámicos
Introducción.
Durante las últimas décadas,
y con el fin de ayudar a la toma de decisiones, se ha desarrollado un interés
creciente por estudios cuya característica esencial es el estar basados en un
procesamiento de información. En esta área el interés principal se ha centrado
en estudiar cómo se genera la evolución de los datos observados a lo largo del
tiempo. En este contexto se ha formalizado el concepto de sistema dinámico, que
ha sido objeto de un estudio sistemático en una rama especializada de las
matemáticas aplicadas a la que se ha denominado teoría matemática de los
sistemas dinámicos; al mismo tiempo se han desarrollado múltiples campos de
aplicación como, por ejemplo, la ingeniería de sistemas y la automática.
Concepto
Sistema
dinámico:
El modelo de comportamiento dinamico de
un sistema se denomina sistema dinamico.
Un sistema dinamico es la representación
matemática de un suceso, siguen una serie de reglas temporales, es decir que su
estado evoluciona con el tiempo.
Se llaman sistemas porque están
descritos por un conjunto de ecuaciones(sistema) y dinámicos porque sus
parámetros varian con respecto a alguna variable de que generalmente es el
tiempo
Dichos sistemas pueden ser físicos,
químicos, biológicos, sociológicos, etc.
El estudio de los sistemas dinámicos
puede dividirse en tres subdiciplinas:
·
Dinámica aplicada: Modelado de procesos por medio de
ecuaciones de estado que relacionan estados pasados con estados futuros.
·
Matemáticas de la dinámica: se enfoca en el análisis cualitativo
del modelo dinamico.
·
Dinámica experimental: Experimentos en laboratorio,
simulaciones en computadora de modelos dinámicos.
Historia
Los sistemas dinámicos son una área
joven de las matemáticas, que aunque remotan de Newton con sus estudios de la
mecánica y Poincare quien inicio el estudio de las ecuaciones diferenciales,
sin embargo fue apenas hace unos 40 años que los SD se establecieron como una
área propiamente dicha, gracias a los trabajos del matemático e ing Smale y
Arnold.
Características:
·
Se
podría decir que se trata del estudio de sistemas deterministas, es decir se
consideran situaciones que dependan de algún parámetro dado, que frecuentemente
sea el tiempo, y que varian de acuerdo a las leyes establecidas.
·
Un
sistema dinamico es un modo de describir el recorrido a lo largo del tiempo de
todos los puntos de un espacio dado.
Ejemplo:
Ejemplo de sistema dinamico,
un sistema de abastecimiento de agua en una granja, donde la bomba de la parte izquierda
no está en uso, pero el tanque lleno con agua abastece a la granja por medio de
la válvula, y esta válvula con el paso del tiempo hace que el nivel de agua en
el tanque disminuya, volviéndose un sistema cambiante.
Límites
de sistemas:
Al considerar un
sistema dinámico como una unidad, tácitamente se asume que existen unos límites
que separan esta unidad del medio en el que está inserta. En el interior de
estos límites, se genera un comportamiento que, en principio, puede no estar
determinado únicamente por acciones aplicadas al sistema desde el Medio. Un
sistema dinámico puede estudiarse como una entidad aislada del medio, que
genera su propio comportamiento dinámico. En la teoría de los sistemas
dinámicos se dice, en ese caso, que se considera el comportamiento autónomo del
mismo.
Los límites del
sistema deben escogerse de manera que se incluyan en su interior aquellos
componentes necesarios para generar los modos de comportamiento de interés. Si
se trata de estudiar una cierta peculiaridad (un problema) del sistema, los
elementos descritos en el interior de los límites deben ser capaces de generar
este problema. El concepto de límite pretende explicar que el comportamiento de
interés del sistema se genera en el interior de los límites, y no viene
determinado desde el exterior. Lo cual no quiere decir que el comportamiento
del sistema no vaya a estar afectado desde el exterior de los límites, sino que
la acción del medio sobre el sistema puede ser considerada como una
perturbación que afecta al comportamiento autónomo del sistema; pero ella misma
no suministra al sistema sus características peculiares.
Los elementos que se encuentran fuera
de los límites del sistema están relacionados con aquellos que se encuentran
dentro de manera muy diferente a cómo los elementos que se encuentran dentro
están interrelacionados entre sí. Las relaciones de causa a efecto entre el
medio y el sistema son unidireccionales, mientras que los elementos en el
interior del sistema están estructurados por medio de bucles de realimentación
que determinan una fuerte interacción entre ellos. Es decir, el medio está
constituido por el conjunto de todos los objetos situados en el exterior de los
límites del sistema y tales que:
1) Un cambio en
ciertos de sus atributos afecta al sistema, y 2) otros atributos (distintos a
los anteriores) son afectados por el comportamiento del sistema. Nótese que un
mismo atributo no puede afectar y ser afectado por el sistema; en tal caso
estaría incluido en el propio sistema. Normalmente, interesa considerar
únicamente las acciones del medio sobre el sistema, y no las posibles acciones
del sistema sobre el medio.
El límite separa al sistema del medio. El sistema está formado por
una serie de elementos, que se representan por puntos negros, entre los que se
producen fuertes interacciones. Por otra parte, en el medio se encuentran
elementos que pueden actuar sobre determinados elementos situados en el
interior del sistema, pero esta acción es simple, es decir no comporta cadenas
cerradas de acciones. En el interior del sistema se producen interacciones
tales que generan un comportamiento autónomo aun prescindiendo de las acciones
del medio.
Elementos y relaciones en los modelos:
Un modelo, en tanto que representación
abstracta de un sistema real, está compuesto por:
ü Un conjunto de definiciones que permiten identificar los elementos
que constituyen el modelo.
ü Un conjunto de relaciones que especifican las interacciones entre
los elementos que aparecen en el modelo.
Un sistema está formado por un
conjunto de elementos en interacción, lo cual se hace explícito en su modelo.
De un mismo sistema real se pueden establecer distintos modelos según los
aspectos que interese considerar de aquél. La elección de los elementos y de
las relaciones de interés constituye una opción en la que se pone de manifiesto
la capacidad del especialista que construye el modelo.
Los distintos elementos, o variables,
que intervienen en el modelo pueden clasificarse en exógenos y endógenos.
Las variables exógenas sirven para describir aquellos efectos sobre el
sistema que son susceptibles de ser modificados desde el exterior del mismo.
Representan, en cierta forma, el medio en el que está inmerso el sistema. Las
variables endógenas sirven para caracterizar aquellos elementos cuyo
comportamiento está completamente determinado por la estructura del sistema,
sin posibilidad de modificación directa desde el exterior. Por ejemplo, en el
estudio de una economía nacional, la fijación de la tasa de redescuento
bancario es una variable exógena que puede ser fijada por el gobierno de un
país, mientras que el nivel de precios es una variable endógena cuyo valor está
determinado por la estructura del sistema.
Al iniciar el
proceso de modelado de un sistema social se deben elegir las distintas
variables que intervendrán en el modelo. Estas variables deben clasificarse, de
acuerdo con lo anterior, en endógenas y exógenas. Normalmente, para ello se
construye formado por dos círculos concéntricos en los que se disponen los
distintos elementos que se considerarán en el modelo.
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